第四章闵氏时空

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   现在已经知道的是，物理学的几乎全部知识，全是建立在平坦的闵氏时空之上，但广义相对论是一个例外。如果问什么是广义相对论里的度量，答案是它很象是人生，人生如戏,但看戏的无非做戏人，也就是说，度量在时空舞台上，它既是演员又是观众。度量刻画时空流形的弯曲。古希腊哲学家们对于空间缺乏清晰的数学认识,因此他们的讨论没有考虑到这个空间到底是平坦还是弯曲。于是出现了一些过于飘渺的议论，这些议论有的是很诙谐的，比如认为大地是被乌龟托着，浮于大海之上。理想主义派的代表人物是柏拉图，他有时间研究几何学，搞了一个奥林匹亚学院，广收门徒,传道授业解惑,一时天下英才,尽数被得而育之,柏拉图的人生真乃是一派风流，他写了一本书，叫《理想国》。大学问家难免一脉相传，比如柏拉图本身就是苏格拉底的学生，而柏拉图的学生，有一个人，名字如雷贯耳，亚里士多德，亚里士多德影响历史，影响力达到两千年之久，亚里士多德的观点是朴素无华的，他认为重的物体和轻的物体做自由落体，重的物体先到落地。民间具有天真的直觉，也支持这个观点。在柏拉图的那个神秘学院，穿过学院的拱形门楼，首先映入眼帘的是几个字：“不懂几何者禁止入内。”这样的话，让人不寒而栗。

    柏拉图希望通过高深的几何学来理解空间。虽然他的用词很可能引起数学农民的反感，但这条道路，是一条正确而光明的道路。平面几何最杰出的定理之一来自毕达哥拉斯。毕达哥拉斯（Pythagelas）（约公元前580—约前500），是古希腊的哲学家、数学家、天文学家，他早年曾游历埃及、巴比伦（一说到过印度）等地，为了摆脱暴政，他移居到意大利半岛南部的克罗托内，在那里组织了一个集政治、宗教、数学合一的秘密团体。这个团体后来在政治斗争中被打散，他逃到塔兰托，后来终于被杀害了。但他的学派全保留了下来，这让人想起爱因斯坦在拒绝当以色列的总统时候说的一句话：“政治只为一时，而方程可以久远。”毕达哥拉斯本人以发现勾股定理（西方称毕达哥拉斯定理）著称于世。这个定理早已为巴比伦人和中国人所知，不过最早的证明大概要归功于毕达哥拉斯学派。这个学派发现用三个整数表示直角三角形边长的一种公式：2n＋1，2n2＋2n 分别是二直角边，则斜边是2n2＋2n＋1。这公式既属于算术，又属于几何。

通过勾股定理，导致不可约分数也就是无理数的发现，这个发现者是学派的一个门徒，实际上这个发现极大地推动了数学的发展。如果要证明根号二是一个无理数，最好的办法可能是Fermat 发明的无限递降法。这个学派还有重大的发现，他们还发现正多面体只有五种，就是正四面体、正六面体、正八面体、十二面体和正二十面。这个发现被S T yau 赞美，其实就是欧拉后来发现的关于凸多面体的欧拉定理，或者说微分几何里的高斯（Gauss）-Bonnet定理，但这个背后，还有很深沉的东西。毕达哥拉斯死后，这个学派还继续存在两个世纪之久，他的定理如果被推到很小的区域，也是正确的。几何学家往往把这样的微小三角形一个名字，美其名曰“特征三角形”。用相对论的眼光来看，毕氏的定理是描述了一个2 维平坦空间。有经验的看客会至少马上想到以下两点：第一，所有的2 维曲面都是局部共形平坦，整体上，比如Riemann 球和Poincare 上半平面都是无法与复平面建立共形等价的，当然也无法共形平坦。）第二，在所有2 维曲面上，爱因斯坦的方程天然成立。毕达哥拉斯定理与广义相对论，有着一衣带水的关系。

    毕达哥拉斯定理在中国被称为勾股定理。西周时代，武王克商，周公与大夫商高讨论，商高说，“勾三，股四，弦五”，这个话不能算是一个定理，只算是一个特例。这记载于一本朝代和来历不很明显的书《周髀算经》。但该书又明确指出，周公的后人的一段对话，对话里明显表达了勾股定理。毕达哥拉斯定理说，一个直角三角形，它的两边的长度的平方和等于斜边的长度的平方。这个定理的证明方法很多，华罗庚年轻时候，也考虑过不少的证明方案。最流行的证明方案,恐怕是通过在一个边长为a+b 的正方形内内接一个边长为c 的正方形来作，利用面积相等，等到a 的平方加上b 的平方等于c 的平方。这个定理出现后，可能中国古代数学家找到了很多乐趣，生活充满七色阳光，数学家开始沉沦，之后中国的数学就开始落后了，科举考试也没有想到要测试一下数学能力，导致举国出现一种靡靡之音。后来到了17 世纪，有一个叫Fermat 的法国人，他本身是一个律师，但数学才情很高，其才情之高，足以睥睨天下，比如，在数论中，他就有Fermat 大小定理传世。小定理说的是素数的一个性质，这个定理后来被欧拉推广，欧拉对比整数a 小的素数的个数引进了关于a 的一个函数。判定素数还有一个定理就是威尔逊定理。Fermat 在一本书的扉页或者页眉那样的地方写道：我可以证明a 的n 次方加b 的n 次方等于c 的n 次方，如果abc 不等于零，那它没有其他的整数解，这个我已经证明出来了，但这地方太小，写不下了。他写完这个后，也就没有多讲，后来就死去。这个命题传了出去，被称为Fermat 大猜想,或者Fermat 大定理，黑暗由此产生，几乎没有一个数学家能够证明它或者推翻它，所以，这个Fermat 大定理独领风骚三百年。后来，据说这成了一种文化，在纽约地铁站，墙壁上可以看到这样的话：Fermat 大猜想我已经证明出来了，但我来不及写下我的证明，因为我的地铁来了。到了1995 年左右，Fermat 猜想真的被证明出来了，证明它的人叫Andrew Wiles。证明过程艰辛而且痛苦，类似于越王勾践，Andrew Wiles 深闭门而不出，十年磨一剑，终成大器。这是数论在近来的最高成就，数论远离物理学，相对论也很难与它有联系。虽然两者具有同样的品质:看上去很美。

(2)

   毕达哥拉斯定理用到计算空间点之间的绝对距离。空间的两个点之间的绝对距离不依赖于坐标系的变化。这一点很重要，正如一个人的思想品德，不依赖于他所穿的衣服。陈省身有一个比喻，大概意思是，微分流形就是裸体的原始人，而黎曼流形是穿衣服的现代人。衣服相当于坐标系，是可以更换的。但在坐标系变换下，绝对距离是一个不变量。闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864－1909）出生于俄国的Alexotas (现在是立陶宛的Kaunas)。一看他的名字,一般人都能猜出他是俄国人，他要干的事情，是在时空中引进绝对的距离。这一点是惊人的，1908 年当他抛出他的这个绝对的时空距离的时候，连爱因斯坦本人，也有点不太能够理解。他年轻的时候，他父亲是一个成功的犹太商人，但是当时的俄国政府迫害犹太人，所以当闵可夫斯基八岁时，父亲就带全家搬到普鲁士的Konigsberg (哥尼斯堡)定居，普鲁士就是现在的德国，普法战争就是德国与法国的战争，所以在欧洲大陆上这个两个大国是有些宿仇的。当时的闵可夫斯基他们搬家以后，就与Hilbert 的家仅一河之隔。所以这一次搬家带给他和Hilbert 终身的友谊，年轻的时候，Hilbert觉得，闵可夫斯基远比自己聪明十倍，有点沮丧。1909 年1 月10 日，闵可夫斯基在正达创作力高峰时，突患急性阑尾炎，抢救无效，于1 月12 日去世，年仅45 岁。挚友Hilbert 替他整理遗作，1911 年出版《闵可夫斯基全集》。1900 年闵可夫斯基在苏黎士的综合技术学校EYH 教数学，学生的人来人往，多数已经在历史里湮没，但里面有一个人就是爱因斯坦。

   爱因斯坦对功课漠不关心，闵可夫斯基对此表示失望，说爱因斯坦是一只懒狗。1902 年闵可夫斯基离开ETH，来到德国的哥廷根大学担任数学教授，当时是Klein 邀请他去的。哥廷根大学领导世界数学潮流，当时有希尔伯特，克莱因，那样的巨人们在那里。1854 年，Riemann也就是为了在哥廷根大学得到一个讲师席位，发表了他那划时代的演讲。闵可夫斯基把时间和空间等同起来，构成一个整体。    

   1907 年，Minkowski 猜想可以用非欧空间的想法来理解Lorentz 和Einstein 的工作，他认为过去一直被认定是独立的时间和空间的概念可以被结合在一个四维的时空：ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2。这种结构后来被称为"Minkowski 时空"。根据这个度量，相对论的精髓思想被用简单的数学方式表出。这些工作为狭义相对论提供了骨架。诺贝尔物理奖得主M. Born 说，他在Minkowski 的数学工作找到了“相对论的整个武器库”。用现在的语言讲，闵可夫斯基认为时间和空间作为一个整体存在，这个整体，被称为四维时空。换一个说法,就是在广义相对论中,没有先验的时间，为了得到时间，先到时空做一个3+1分解。因为4 维的东西没有人见到过，所以没有人可以想象出来4 维的时空到底是一个什么，象一个面包还是一个杯子，全不是。只好来一个比喻，时空就好象是一根香肠，可以被切片，每一个切面，才是空间。但3+1 分解是人为的，它破坏了本来的对称性。狭义相对论最重要的思想正是把单独的时间和空间给埋葬掉了。

闵可夫斯基说：“我要摆在你们面前的空间和时间的观点，已经在实验物理学的土壤里萌芽了……从今往后，空间和时间本身都将要注定在黑暗中消失，只有两者的一种结合才能够保持一个独立的实体。”

  假定2 个事件之间的时空间隔是一个不变量，那么时间必然与空间联系在一起，构成一个整体去描述那个不变量。这是爱因斯坦1905 年发现的狭义相对论的全部。虽然当爱因斯坦听到闵可夫斯基的发现时，不是特别在意。爱因斯坦笑话说：闵可夫斯基用那么数学那样复杂的语言来描述狭义相对论，物理学家简直弄不清楚了。4 年后，1912 年，爱因斯坦认识到，自己不应该笑话闵可夫斯基。因为要把引力与狭义相对论结合起来，闵可夫斯基的观点是很优雅的。

（3）

    狭义相对论考虑的是完全的平直时空，这样的时空是爱因斯坦方程的一个解，被称为闵可夫斯基时空。时空上面的度量是闵可夫斯基度量，保持度量不变的变换是庞加莱群。这个群是10 维的李群。但闵可夫斯基时空没有物质，引力场退化，在经典广义相对论看来，这是一个虚空，没有多少意义。

    Minkowshi 时空是平坦的，看上去平淡无奇。数学家唐纳森等人在1983 年发现，4 维度的Minkowshi 时空流形（是Euclidean 空间，它与Minkowshi 时空流形无法建立整体的微分同胚，但可以局部微分同胚）具有无穷多个微分结构。这个发现利用的是非经典的量子场论，结论是惊人的，因为其他的R^n(n 不等于4)的流形上都只有唯一的微分结构。Minkowshi时空那样特殊，而人类生活其中，这简直成了又一个上帝存在的明证。

    但在当时爱因斯坦和闵可夫斯基那个时代，人们的意识还没有到底这样深的程度。Maxwell 的电磁场理论已经无比成熟，这是在Minkowshi 时空上的电磁场方程。但有些问题很少被人注意到，比如因为电磁场的存在必然引起时空的弯曲，所以不存在真正意义上的平直时空的axwell 方程。

   而其他的问题层出不穷，后来的相对论学家温茹也用量子场论中的波格留波夫变换等技术发现，在Minkowski 时空上的加速观察者，他将观测到自己处在热浴之中，也就是说，这组加速观察者看不到整个Minkowski 时空，而是存在一个看不到的区域，就是有一个视界，这个视界象一个黑洞视界一样，在热辐射粒子。Minkowski 时空显示出奇怪的另一面，这些事情的发生，引导人们反躬自问起来。对于看上去貌不惊人的Minkowshi 时空，人们到底晓得多少.。一直以为Minkowshi 时空是真空，但事情显得很复杂，它似乎象一个貌似平静，但诡波谲流的大海。