第三章等效原理

（1）
   1841 年，中英鸦片战争在进行之中，西方远远地领先于中国，22 岁的剑桥大学数学系的学生亚当斯根据牛顿万有引力和天王星运动的轨迹，假想有一颗未知的行星在天空运行。他经过一年的计算，猜测出这颗可能的行星的轨道。1843 年10 月，他把自己预言的这颗新行星的轨道寄格林威治天文台台长。但是，这位天文台台长对亚当斯的信不予理会。他严重地不相信这个年轻的大学生会在笔尖发现一颗新的行星。   

   另一位法国青年天文学家勒维耶也在研究这个问题。他也推测是因为存在一颗未知行星的引力作用，使天王星的轨道运动受到干扰，也就是天文学上所谓的“摄动”影响。他计算出这颗行星的轨道、位置、大小，然后请德国天文学J.G 伽勒寻找这颗未知的行星。1846 年9 月23 日，伽勒根据勒维耶预言，只花了一个小时，就在离勒维耶预言的位置不到1 度的地方，发现了一颗新的行星。后来这个新的行星被命名为海王星。发现海王星的那一年，勒维耶35 岁。

   亚当斯和勒维耶所做的工作，类似与同时代的门捷列夫，门捷列夫通过对元素卡片的一次又一次地排列，预言了大量的未知元素。水星也是太阳系的一颗行星，它在近日点时也有类似于天王星的不遵循轨道运动的现象。1855 年，勒维耶根据他发现海王星的经验，预言在水星轨道内有一条行星带（他认为是水内行星而不是行星带摄动，并命名为火神星，或者祝融星）它影响了水星的运动。这一次，勒维耶失败了。这一次失败有点象后来的物理学家泡利，泡利因为根据能量守恒而预言中微子的存在，声名雀起，但又相信宇称守恒而预言上帝不是一个左撇子，遭遇失败。但勒维耶发现海王星，在这之后的确没有人再怀疑牛顿的万有引力。但20 世纪初的天文观测发现了水星轨道的异常，这为万有引力定律掘墓。事实似乎说明，椭圆不能精密描述行星运动。在另外的一个侧面，抛物线出场了。在这里谈及的曲线还全是空间里的曲线，不是时空中的世界线，世界线是相对论中最基础的概念之一，大概意思是把一个空间点拉长成为一条线，而Dirac 方程在粒子的世界线上引入了超对称，这样的看法还为时尚早。    

   伽利略(1564 ~ 1642 年)，出生于意大利的比萨,他从小就喜欢思考。十七岁时进入比萨大学念医学。在他的学生时期,他看到吊在教堂圆型天花板的灯的摆动,发现了钟摆周期只与摆线的长度有关，而与摆角和摆锤的质量无关，这真是一个出人意料的发现，简直可以作为上帝存在的明证，他的这个发现，大致上就是发现了简谐振动，简谐振动是一个二阶常微分方程。

他是那个黑暗时代的先知，同时是英雄时代的伟大导师，聪颖过人，心比天高，这一点可以从他的两个思想实验里看出来。这些思想使得牛顿认为自己是站在巨人伽利略的肩膀之上。

   第一个思想实验是用来说明自由落体运动的。虽然据说他后来也在比萨斜塔亲自做了这个实验。但他的思想实验，却似乎更加可信，甚至不能辩驳。他说：“不考虑空气阻力，轻的东西将和重的东西同时下落，它们将同时落地。因为假如亚里士多德是对的，重的先落地，而轻的后落地，那么，倘使我在它们两个之间连一个无质量的刚性细绳，可以想见，总质量大于它们两个的单独质量，于是，按照亚里士多德，这个整体将落的更快，但事实上，轻的东西一定会拖重的那个的后腿。于是这就自相矛盾。可见，亚里士多德是错误的，轻的东西和重的一样，必然需要时刻有相同的速度，它们同时落地。”

这个思想实验，使得人们认识了自由落体运动的思想精髓。自由落体成为相对论初期研究的一个专门武器，爱因斯坦据此思考了等效原理。伽利略逝世的那一年是1642 年，同一年牛顿诞生，而其自由落体的思想一直到20 世纪初，依然为爱因斯坦所沿用，并且在1907年灵光一现，发现了等效原理。这有一点类似九方皋相马，普通人往往跟伯乐的儿子一样，只知道按图索骥。

——而爱因斯坦，却在一个古老的思想里发现了新的真理。
（2）
   抛物线是圆锥曲线的一种，它的非线性性质在混沌动力学中被经常利用到，然后平地起惊雷，说，周期三导致混沌，出现了周期三，其他什么周期都将出现。可见，从抛物线出发，往往能够深入浅出。在教室里斜抛一个粉笔头，它总是画出优雅的舞线。假如没有空气阻碍，其轨迹是一条抛物线。其运动可以被简单分解，在竖直方向上，它是带初速的自由落体运动，在水平方向是匀速直线运动。
   一个最简单的计算可以表明，以相同的初条件斜抛出不同质量的物体，其运动轨迹是抛物线，这些抛物线全部是可以重合起来的，因为它们一模一样。不同的质量，相同的轨道，这说明，运动轨道与质量没有关系，这一点与单摆一样，再次证明上帝存在，抛物线和单摆是处在引力场中的，它们这样的现象，说明这好象是一个内禀的几何效应。   

   简单的抛物线，用一种返璞归真的语言告诉年轻的爱因斯坦，引力，是一种几何效应。1907 年,有人请爱因斯坦写一个介绍狭义相对论的综述文章,写这样的文章,使得爱因斯坦重新全面地审视了一下自己的理论和周围的世界。狭义相对论是在1905 年建立的。当时的爱因斯坦依然在伯尔尼专利局,他坐在书桌边，突然遇见了一生中最快乐的思想——等效原理,“我正坐在伯尔尼专利局的桌旁,突然出现了一个想法,‘如果一个人自由下落,他将感受不到自己的重量’。”   

   换一句话说，引力质量等于惯性质量。爱因斯坦把这个称为等效原理。物理学家曾经发现了一些等效原理一样的方法来处理问题，比如电学理论中，最让人瞠目结石的一个关于电路的定律，不是基尔霍夫的。它叫“戴维南定律”，用来处理一个等效电动势。其背后的数学，不是瞬间能想清楚的。但无疑的是，等效的方法，极大简化了模型的复杂性。在某个程度上，爱因斯坦从等效原理出发，建立了广义相对论。当然，比如synge 等人就认为，等效原理虽然让爱因斯坦一生最快乐，在相对论建立过程中就象一个接生婆，但现在，接生过程已经完成，相对论应该体面地埋葬掉这个接生婆。

   synge 是一位极早期就用几何语言来表述广义相对论的人，内心有一种不被世人理解的苦闷。他的话虽然有点过河拆桥的意思，但动机也是很不错的。因为，凡是懂得等效原理的人，十之八九会以为，一个自由下落的观察者，他所看到的时空总是平坦的。但几何学家一定不同意。因为时空是否平坦，就是说微分流形是否平坦，只依赖于它上面的度量，而不依赖于坐标系。

同时代的人群之中，爱因斯坦是第一个想到等效原理。这个原理使得人们发现了一些引力场不同与其他场论的地方，造成巨大的困难。比如一个人朝太阳掉下去，按照等效原理，在他看来，他没有感受到任何引力，相当于他没有测量到引力场的能量。这明显不同于电磁场的情况。比如电荷，是一个局部的电荷密度的，满足连续性方程，电荷受恒。引力能量有没有局部的密度？这个问题看上去似乎谁都要扪心自问，但寻找它的答案，相对论学者们一度衣带渐宽，人来人往，一次一次开会讨论，但好象全是在looking for the right answer to the wrong question。黑暗由此产生，人郁闷了。

   引力能量不能在单独一个点上被谈及,因为时空中的一个点不考虑它的邻域无法谈它是否弯曲。准局域（quasilocal）的定义应运而生。德国的Nester 是最初的倡导者和专家,这个人现在台湾的国立中央大学。

   当然大范围地定义一个时空的能量或者质量是可能的，比如Komar 有一个定义，这个定义只要求时空存在一个类时的killing 场，就可以定义一个包围在2 维球面内的空间的总质量，并且，这个总质量跟包围它的2 维球面的选择没有关系，这就很象电动力学里的高斯定律了，说的是，对点电荷的电场强度计算通过包围它的曲面的通量，结果是点电荷的电量，与曲面无关。  

（3）

   爱因斯坦在1907 年还没有写出他著名的爱因斯坦方程。等效原理一直是他思想上最闪光的部分。直观地看，似乎类似于圆是弯曲的，但可以用正多边形来逼近圆的周长。但一个人要真正看清楚背后的东西，需要不止一天的时间，正如很少有人能清楚说明圆周率和自然常数和自然数一之间的关系。为了数学地理解等效原理，爱因斯坦在1907 年之后的这段时间内自觉地转向Riemann 几何，他需要跟他的老同学数学家格罗斯曼合作学习微分几何，那里有一些名词，比如联络，克氏符，曲率张量。等他建立起相对论，微分几何学得到了物理学的推动，开始大步发展，广为人知，本来数学家已经认为，微分几何已经是沉迷于玩溺上下指标，是没有大出息了。Gauss 时代的几何，总是把曲线曲面嵌入到外部的高维空间进行研究。但宇宙没有外面，于是，相对论天然的要求一个研究内禀几何性质的Riemann 几何学，这样的几何对象，不需要外部空间的存在。

   可能后来赶上爱因斯坦的相对论潮流的数学家会认为，爱因斯坦的等效原理就是说，在一个弯曲流形上的每一点，总可以存在一个平坦的切空间。（在爱因斯坦当时那个时代，manifold 这样的概念已经存在，就是1854 年左右的Riemann 引进的（Riemann 引进的流形概念和现在的概念相差很大，真正的是在1901 年Hilbert 定义而在1913 年由Weyl 精确定义）。）数学家用自己特有的方式理解等效原理，让文人墨客失魂落魄。歌德在这方面深有体会，他讲：数学家犹如法国人，无论你跟他们讲什么，他们把它翻译成自己的语言，于是成了全然不同的东西。

    在物理上，爱因斯坦的自由下落的电梯是一个理想的惯性系，但它是局部的，在电梯里，引力消失了。几百年前，伽利略的另外一个思想实验，那里有一个从光滑斜面上滚下来的小球，这个小球被伽利略证明能够滚到无穷远处。他的这个思想实验，可以证明牛顿第一运动定律的正确性质，但留给后代的人一个问题，什么叫惯性，什么叫惯性系？这样的问题难有一针见血的答案让所有的人都欣然接受，充分理解。这个问题太难了，蜀道之难，难于上青天。惯性系是什么，也有登天之难。