第二章一个美丽的椭圆

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  1543 年，哥白尼关于日心说的工作之后，丹麦的天文学家第谷不太同意哥白尼的观点。他出生贵族，是一个有钱来做天文观测的人士。据说第谷年轻的时候与人斗殴，被砍掉半个鼻子，所以他后来有半个金鼻子，长相显得非常怪异。他开始夜观天象，并且整理了一套看上去杂乱无章的数据。这套数据，最后保留着给了他的助手，一个叫开普勒的人，但第谷的本意，好象是想把这些数据传给自己的女婿的。开普勒一生生活是相当潦倒的，最后还死在讨债途中，那是在1630 年，他几个月领不到薪水，经济困难，不得不亲自前往雷根斯堡的基金会索取，在那里他突发高烧，几天后在贫病交困中去世。他去世的时候，觉得自己非常对不起自己的老婆孩子，因为他把自己的一生精力，全花在研究天文学和写书出版之上了。他在出版书的时候，据说，第谷的女婿还给他写了一个序文，这个序文有一个特点，是通篇大骂开普勒剽窃第谷的成就。这样子的书是很奇异的。

   但开普勒的几本书《新天文学》和《宇宙和谐》先后给出了3 个行星运动定理。第一个定理是很重要的，认为行星运动的轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点之上。他实际上没有想到，未来会表明，一个封闭的椭圆是一件过于唯美之事，因为根据爱因斯坦的相对论，轨道会有进动，我们不能得到一个封闭的椭圆。第二个定理异常强大，他几乎用肉眼看出角动量守恒定理，说的是行星矢径在单位时间扫过的面积相同。第三个定理，似乎绝对是上帝的旨意，要从一组数的三次方和另外一组数的平方中看到不变量，依靠一般凡人的眼睛，往往不够，这个定理说的是行星运动周期的平方和轨道半径的立方成正比。这三个定理，迫使牛顿得到万有引力定律。万有引力的出世，其实来自于开普勒对数据的千万次摸排。开普勒的视力不好，相比第谷，他显然不擅长天文观测，但他的确具备从复杂数据中提炼出物理规律的神奇能力。这往往是一种从天上看到人间的天赋异禀。他的行星运动第一个定理里，开始出现一个完美的椭圆。

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   一般说来，一个椭圆是封闭的，这样的对称性背后，包含着守恒的物理量。由对称性导致守恒量，是伟大的德国女数学家Noether 的思想，数学家外尔曾经这样开玩笑：“女数学家有两种，一种不是女的，一种不是数学家”。没有问题，Noether 肯定是一个数学家，她一辈子没有结婚，把全部精力投身给了近世代数。某个时候CN.yang 认为，Noether 的这个原理是最基本的，于是，国内讲力学的教材开始了一次改革，改革的结果是从对称性开始讲力学。无论怎么样，对称性是美的化身。描述对称性最好的语言是群论。对称性和守恒量有一一对应的关系，这一点，是深刻的。比如，众所周知的结论是，空间是均匀的，所以动量守恒。于是，行星运动的轨道是封闭的椭圆，这样的对称性导致的守恒量就是龙格—楞次矢量。

   什么是椭圆？在数学上，椭圆的定义是在平面上到两个定点之间的距离之和等于定长的点所组成的集合。这个是很清楚的，一般高中生就要学会怎么样画一个椭圆。这是解析几何里的事情。在Fermat 和笛卡儿的解析几何里，人们换了一个看法，那就是把一个曲线与一个代数方程等同起来，这样的想法把代数和几何结合起来，这样的结合是思想的奇葩，包括后来在物理中经常运用的所谓su（2）李群，从代数的角度去看一下，就可以知道它其实就是一个3 维球面。解析几何的一个很直观的推广是能不能把一个实n 维流形嵌入到高维间，然后再把这个流形表达成为一个或者一组代数方程。这样事情Nash 和chaw 伟良等人做过了。

   解析几何带来的一个全新的数学时代。只有当椭圆被放在坐标系里的时候，才可以遇见另外的问题，那就是如何计算椭圆的周长。这个时候，完美的椭圆似乎突然让人迷惘。因为，圆的周长是很简单的，上过学的人全会算，而椭圆周长，上过学的一般不会算。

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   计算椭圆周长的问题也难住了牛顿。虽然用牛顿的万有引力定律，可以得到椭圆轨道。但仔细地研究这个椭圆的来历，有一些需要推敲的地方。在经典的力学里，Bertrand 定理说，只有当中心势是库仑势或者谐振子势的时候，轨道才是封闭的。这个定理是重要的，因为它否认了其他势场里存在封闭轨道的可能性，哪怕是对库仑势的微小偏离。所以，当爱因斯坦的广义相对论对万有引力的库仑势做修正的时候，在理论上，这个完美的椭圆崩溃了。离太阳最近的行星是水星，那儿的万有引力场强最大，广义相对论的修正最明显，之前人们已经观测到水星近日点存在进动，也就是说，人们开始注意水星的公转轨道是不是一个封闭的椭圆，但没有人可以解释这到底是为什么。既然轨道不是椭圆，我们就知道，水星与太阳之间的万有引力势场不是严格的库仑势。这似乎应该意味着一个曙光的黎明，相对论然比较难以理解，但在这个椭圆封闭性问题上，结论是很清楚了。原来，牛顿的万有引力定律，那样美的一个定律，在引力比较强的时候，也是不对的。

   爱因斯坦的广义相对论解释了水星近日点的进动，这是对广义相对论的三大验证之一。1919 年的时候，英国天文学家爱丁顿利用日全食的机会，他领导下的实验证明了光线偏折的规律也符合广义相对论的预言，这个实验是著名的，因为他极大地支持了爱因斯坦的理论。当时也就是第一次世界大战，德国和英国是敌对国，所以这个实验的成功的时候，大众的眼球被吸引了，报纸的头版是这样的：英国科学家支持了德国科学家的理论。当爱丁顿做出这个实验的时候，他的心情很可能比爱因斯坦更加激动。有一个说法是他认为自己和爱因斯坦是当时唯一懂得广义相对论的两个人。而当记者问爱因斯坦说，当您的理论被实验证明是正确的时候，您怎么想？爱因斯坦的回答说：没有什么好奇怪的，上帝安排的，我不相信还会出现别的结果。

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   虽然1919 年，牛顿理论已经被实验证明应该被爱因斯坦的广义相对论所取代，但牛顿依然是绕不过去的存在。拿牛顿万有引力定律和库仑定律来比，虽然有点抬举库仑，但马上会发现牛顿的意义有很多。牛顿的万有引力定律，实际上告诉人们，质量总是正的，也就是万有引力总是相互吸引，这样的话，宇宙似乎不能跟一个孕妇一样，不由自主地膨胀。但目前观测到的宇宙，它居然在膨胀，并且还是加速膨胀。对于宇宙的加速膨胀，这里只是暂时提起。但这个问题，已经成为了21 世纪物理学晴朗的天空里最大的一个乌云，这个乌云似乎要覆盖整个天穹，让人分外地不安。情况就是这样的，物理学家本来以为自己已经快了解了整个宇宙的100%，后来突然被一声闷雷惊起，一个声音说，“无知的狂妄，你仅仅了解我的4%”。质量总是正的，可能让人想起经典广义相对论中著名的正质量猜想。有的人会想起1980 年代witten 和Schoen 和Yau 对该猜想的的证明。

   当然，如何定义质量，在广义相对论中，也是一个具有不止一个标准答案的问题，在正质量猜想里的是ADM 质量（Arnowitt，Deser，Misner）。在这里，我们几乎可以挥别牛顿了。

   有一个叫伏尔泰的法国人，他也曾经研究了一下牛顿的事迹，现在关于牛顿和苹果落地的这些故事，多数也是出自他的手笔。伏尔泰是一个能力很强的文科圣手，他还勾引了一位公爵的老婆，也许是相互勾引，——后来两人一起私奔。

   1727 年牛顿逝世，思想界的巨擘辞世，伏尔泰参加了葬礼。牛顿84 岁离开人世，为他抬棺材的是两位公爵、三位伯爵以及大法官。伏尔泰是这样描述的："他是像一位深受臣民爱戴的国王一样被安葬的。在他之前，没有哪一位科学家享受如此殊荣。在他之后，如此厚葬的也将是屈指可数。"牛顿去世后不久，诗人薄柏总结了世人对牛顿的评价，说：自然规则在黑暗里，上帝说，让牛顿干吧！于是一切大放光明。

   牛顿是一个聪明人，他几乎能从容应对所有非常的局面，但他不是完人，他在数学上也遇见一些困难。比如他不能求出全部自然数倒数平方之和，也不能积出椭圆的周长。历史朝后面发展，我们发现，椭圆周长只能用非初等的椭圆积分表达出来。而另人惊奇的是，挪威数学家Abel 证明了五次方程没有代数解答，但有些五次方程的解，Hermite 证明可以通过椭圆函数来表出。这说明了数学的各个侧面具有统一性的一面。而相对论在经历了1970年代之后的多年的沉寂以后，面临着一个引力量子化的命运。在量子引力的理论中，椭圆函数等等，也全面都浮现出来。所以，这个完美的椭圆，告诉我们不少秘密，盯着一个椭圆看很久，里面全部是秘密。有一句箴言：一花一世界，一沙一天堂。